Garis dan Sudut

Gambar 1

Perpotongan dua buah garis seperti gambar 1 menghasilkan beberapa sudut. Hubungan sudut-sudut tersebut diantaranya:

1. Dua buah sudut yang yang berimpit salah satu kakinya disebut saling berpelurus. Jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰ . Pada gambar 1 sudut-sudut yang berpeelurus adalah A₁ dengan A₂, A₁ dengan A₄, A₄ dengan A₃, serta A₂ dengan A₃.
2. Dua buah sudut yang kaki sudutnya tidak berimpit disebut saling bertolak belakang. Besar ukuran sudut keduanya adalah sama. Pada gambar 1 sudut-sudut yang bertolak belakang adalah A₁ dengan A₃, serta A₂ dengan A₄.

Perpotongan antara dua garis sejajar dengan sebuah garis seperti gambar 2 menghasilkan beberapa sudut. Hubungan sudut-sudut tersebut adalah:

1. 

   Gambar 2
   Sudut-sudut yang sehadap mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sehadap yaitu: A₁ dengan B₁, A₂ dengan B₂, A₃ dengan B₃, serta A₄ dengan B₄.
2. Sudut-sudut yang berseberangan dalam mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut berseberangan dalam yaitu: A₁ dengan B₃, serta A₄ dengan B₂.
3. Sudut-sudut yang berseberangan luar mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut berseberangan luar yaitu: A₂ dengan B₄, serta A₃ dengan B₁.
4. Sudut-sudut yang sepihak dalam, jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sepihak dalam yaitu: A₁ dengan B₂, serta A₄ dengan B₃.
5. Sudut-sudut yang sepihak luar, jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sepihak luar yaitu: A₂ dengan B₁, serta A₃ dengan B₄.

Gambar 3

Dari gambar 3, bagaimana kita menujukkan bahwa besar sudut a + b + c = 180⁰ ? Salah satu cara menggunakan  konsep diatas dengan langkah berikut:
(1). a = d karena berseberangan dalam
(2). b = e karena berseberangan dalam
(3). a + b + c = d + e + c = 180⁰. karena membentuk sudut lurus.

Read More … Garis dan Sudut

Ukuran Pemusatan Data Tunggal

Untuk apa kita mempelajari ukuran pemusaran data??? Ukuran pemusatan data digunakan  agar data yang diperoleh mudah untuk dibaca dan dipahami. Ukuran pemusatan data terdiri atas mean, median, dan modus.

a. Mean ( Rataan )

Mean dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Dengan mengetahui mean suatu data, maka variasi data yang lain akan mudah diperkirakan.
Rumus mean : 

Contoh :
Nilai ulangan matematika Anto pada semster 1 adalah 6, 8, 5, 7, 9, dan 7. Maka meannya adalah :

Misalkan sekumpulan data terdiri atas nilai X₁, X₂, X₃ … X_n dan memiliki frekuensi f₁, f₂, f₃, … f_n maka mean dapat dicari dengan rumus :

Contoh :
Tentukan mean dari data berikut !
6, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 8, 9, 9, 6, 7, 4, 5, 8, 7, 4, 8, 5
Jawab :
Data diatas akan lebih mudah dikerjakan bila disajikan dalam tabel frekuensi.
Tabel frekuensi :

b. Median

Median adalah nilai tengah dari sekupulan data yang telah diurutkan dari terkecil ke terbesar. Median dipengaruhi oleh jumlah data, jika jumlah dta ganjil maka mediannya adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan, dan jika jumlah data genap maka mediannya adalah mean dari dua bilangan yang ditengah setelh data diurutkan.
Contoh 1 :
Tentukan median dari data berikut!
3, 5, 4, 6, 8, 7, 3
Jawab :
Jumlah data = 7 (ganjil)
Data diurutkan akan menjadi seperti berikut:
3, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Nilai 5 ada ditengah data yang telah diurutkan, maka 5 merupakan median.
Contoh 2 :
Tentukan median dari data berikut !
9, 6, 5, 4, 3, 7, 8, 5
Jawab :
Jumlah data = 8 (genap)
Data diurutkan akan menjadi seperti berikut :
3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9
nilai 5 dan 6 ada ditengah data yang telah diurutkan, maka mediannya adalah 5 + 6 / 2 = 5,5

c. Modus

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling banyak, modus dinotasikan dengan Mo.
Contoh :
Tentukan modus dari data berikut !
4, 8, 7, 4, 6, 3, 6, 8, 6, 3
Jawab :
Data yang paling sering muncul adalah 6, maka Mo = 6

Read More … Ukuran Pemusatan Data Tunggal

BILANGAN BULAT

Ringkasan Materi

1. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, ...
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : ..., -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}

2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.

3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :

Contoh : 7 + (-10) = 7 - 10 = -3
Sifat-sifatnya :
a. Komutatif :

b. Asosiatif :

c. Tertutup :

d. Memiliki identitas :

e. Invers penjumlahan :


4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :

Contoh : 8 - (-2) = 8 + 2 = 10

5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)

Sifat-sifat :


6. Pembagian
Pembagian adalah kebalikan (invers) dari perkalian.
Rumus :


7. Perpangkatan dan Sifat


8. Akar Pangkat Dua dan Akar Pangkat Tiga

Read More … BILANGAN BULAT

NEGATIF X NEGATIF = POSITIF

MENGAPA NEGATIF DIKALIKAN NEGATIF SAMA DENGAN POSITIF ?

Penjelasan matematis

    Berikut ini adalah penjelasan matematis mengapa bilangan negatif dikalikan  dengan bilangan negatif akan menjadi bilangan positif. jika kamu membayangkan bilangan negatif sebagai bilangan positif yang dikalikan dengan -1. maka kamu bisa menulis hasil dari dua bilangan negatif seperti berikut ini.

                                            (-a)(-b) = (-1)(a)(-1)(b) = (-1)(-1)ab

karena kita sudah tahu dari kesepakatan bahwa (-1)(-1) = +1, maka (-a)(-b) = ab. Contohnya :
                            -2 x -3 = (-1)(2)(-1)(3)
                                        = (-1)(-1)(2)(3)
                                        = (-1)(-1) x 6

Read More … NEGATIF X NEGATIF = POSITIF