Konsep Pecahan

Pengertian Pecahan dan Pemahaman Konsep Pecahan

       Pecahan adalah sebagian dari sesuatu yang utuh. Dalam ilutrasi gambar, bagian yang dimaksud adalah bagian yang biasanya ditandai dengan arsiran. Bagian inilah yang dinamakan pembilang. Adapun bagian yang utuh adalah bagian yang dianggap sebagai satuan, dan dinamakan penyebut.

 5/8

  Pemahaman Konsep Pecahan

Kegiatan mengenal konsep pecahan akan lebih berarti bila didahului dengan soal cerita yang menggunakan obyek-obyek nyata misalnya buah : apel, sawo, tomat, atau kue: cake, apem, dan lain-lain. Peraga  selanjutnya dapat berupa daerah-daerah bangun datar beraturan misalnya persegi, persegipanjang, atau lingkaran yang akan sangat membantu dalam memperagakan konsep pecahan. Pecahan ½ dapat diperagakan dengan cara melipat kertas berbentuk lingkaran atau persegi, sehingga lipatannya tepat menutupi satu sama lain. Selanjutnya bagian yang dilipat dibuka dan diarsir sesuai bagian  yang dikehendaki, sehingga akan didapatkan gambar daerah yang diarsir seperti di bawah ini.

         Selain itu  Heruman (2008:44) juga mengemukakan contoh pemahaman konsep pecahan sebagai berikut:

a. Media yang diperlukan

1)      Kertas yang berbentuk lingkaran atau persegi panjang.

2)      Berbagai benda yang dapat dipotong-potong.

b.   Kegiatan Pembelajaran

1) Guru memberikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari (Kontekstual) yang berkaitan dengan pecahan 1/2 seperti:
Susi mempuyai sepotong kue.

    Kue tersebut dibagi menjadi dua bagian yang sama dengan adiknya. 

    Adiknya mendapat ,…   bagian.

 di bagi 2  

2)      Untuk peragaan dengan kertas dalam pengenalan pecahan 1/2, siswa menyediakan kertas berbentuk persegi panjang, lalu kertas tersebut dilipat menjadi dua bagian yang sama. Berilah garis bekas lipatan dan arsir salah satu bagian lipatan.

3)      Siswa kemudian diberi serangkaian pertanyaan:

a)    Berapa bagian kertas yang dilipat? 
( Jawaban yang diharapkan: 2 bagian )

b)   Berapa bagian kertas yang diarsir?
 (Jawaban yang diharapkan: 1 bagian)

c)    Berapa bagian kertas yang diarsir dari semua bagian? (Jawaban yang diharapkan: 1 dari 2)

     apabila ditulis dalam bentuk pecahan: 1/2

Read More … Konsep Pecahan

Kubus

Pengertian Kubus

Kubus merupakan salah satu bentuk bangun ruang atau dimensi tiga. Kubus merupakan sebuah bangun ruang atau dimensi tiga yang semua sisinya berbentuk persegi dan semua rusuknya sama panjang. Coba kita perhatikan gambar berikut:

Gambar diatas dinamakan kubus ABCD.EFGH. Dari gambar diatas tampak bahwa kubus memiliki unsur-unsur sebagai berikut :

• Sisi/Bidang kubus merupakan datar yang membatasi kubus. Kubus memiliki 6 buah sisi yang semuanya berbentuk persegi, yaitu sisi bawah = ABCD, sisi atas = EFGH, sisi depan (ABFE), sisi belakang= CDHG, sisi kanan = ADHE, dan sisi kiri = BCGF.
• Rusuk merupakan garis potong antara dua sisi bidang kubus. Kubus memiliki 12 buah rusuk, yaitu AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan DH.
• Titik Sudut merupakan titik potong antara tiga rusuk. Kubus ABCD. EFGH memiliki 8 buah titik sudut, yaitu titik A, B, C, D, E, F, G, dan H.
• Diagonal Bidang merupakan garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu sisi/bidang. Pada kubus ABCD.EFGH terdapat 8 buah titik sudut yaitu : A, B, C, D, E, F, G, H.
• Diagonal ruang merupakan HB yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan dalam satu ruang. Terdapat empat diagonal ruang yang sama panjangnya dan saling berpotongan di tengah-tenagh yaitu AG = BH = CE = DF.
• Bidang diagonal merupakan bidang yang dibentuk oleh dua diagonal bidang dan dua rusuk yang saling sejajar. Terdapat 6 buah bidang diagonal yaitu : ACGE, BDHF, ABGH, CDEF, ADGF, BCHE.

Sifat-sifat Kubus

Kubus memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

• Semua sisi merupakan persegi
• Semua rusuk sama panjang
• Semua diagonal bidang sama panjang
• Semua diagonal ruang sama panjang
• Semua bidang diagonal berbentuk persegi panjang.

Jaring-jaring kubus

Jaring-jaring kubus dibentuk dari 6 buah persegi yang apabila dirangkaikan akan membentuk suatu kubus. Ada beberapa macam bentuk jaring-jaring kubus, diantaranya tampak seperti gambar berikut.

Rumus-rumus Kubus

1. Volume kubus

Pada dasarnya untuk mencari volume suatu bidang ruang digunakan rumus

Volume = Luas alas x tinggi

Dimana luas alas kubus adalah persegi dan panjang sisi alasnya sama dengan tinggi kubus

Sehingga:

volume kubus = panjang rusuk x panjang rusuk x panjang rusuk

= s x s x s

= s³

Jadi, volume kubus dapat dinyatakan sebagai berikut.

2. Luas Permukaan

Untuk mencari luas permukaan kubus, kita akan menghitung luas jaring-jaring kubus yang berjumlah 6 buah persegi yang sama besar dan kongruen. Sehingga :

Luas permukaan kubus = luas jaring-jaring kubus

= 6 x (s x s)

=

=

Jadi, luas permukaan kubus dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

Read More … Kubus

Garis dan Sudut

Gambar 1

Perpotongan dua buah garis seperti gambar 1 menghasilkan beberapa sudut. Hubungan sudut-sudut tersebut diantaranya:

1. Dua buah sudut yang yang berimpit salah satu kakinya disebut saling berpelurus. Jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰ . Pada gambar 1 sudut-sudut yang berpeelurus adalah A₁ dengan A₂, A₁ dengan A₄, A₄ dengan A₃, serta A₂ dengan A₃.
2. Dua buah sudut yang kaki sudutnya tidak berimpit disebut saling bertolak belakang. Besar ukuran sudut keduanya adalah sama. Pada gambar 1 sudut-sudut yang bertolak belakang adalah A₁ dengan A₃, serta A₂ dengan A₄.

Perpotongan antara dua garis sejajar dengan sebuah garis seperti gambar 2 menghasilkan beberapa sudut. Hubungan sudut-sudut tersebut adalah:

1. 

   Gambar 2
   Sudut-sudut yang sehadap mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sehadap yaitu: A₁ dengan B₁, A₂ dengan B₂, A₃ dengan B₃, serta A₄ dengan B₄.
2. Sudut-sudut yang berseberangan dalam mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut berseberangan dalam yaitu: A₁ dengan B₃, serta A₄ dengan B₂.
3. Sudut-sudut yang berseberangan luar mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut berseberangan luar yaitu: A₂ dengan B₄, serta A₃ dengan B₁.
4. Sudut-sudut yang sepihak dalam, jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sepihak dalam yaitu: A₁ dengan B₂, serta A₄ dengan B₃.
5. Sudut-sudut yang sepihak luar, jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sepihak luar yaitu: A₂ dengan B₁, serta A₃ dengan B₄.

Gambar 3

Dari gambar 3, bagaimana kita menujukkan bahwa besar sudut a + b + c = 180⁰ ? Salah satu cara menggunakan  konsep diatas dengan langkah berikut:
(1). a = d karena berseberangan dalam
(2). b = e karena berseberangan dalam
(3). a + b + c = d + e + c = 180⁰. karena membentuk sudut lurus.

Read More … Garis dan Sudut

Ukuran Pemusatan Data Tunggal

Untuk apa kita mempelajari ukuran pemusaran data??? Ukuran pemusatan data digunakan  agar data yang diperoleh mudah untuk dibaca dan dipahami. Ukuran pemusatan data terdiri atas mean, median, dan modus.

a. Mean ( Rataan )

Mean dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Dengan mengetahui mean suatu data, maka variasi data yang lain akan mudah diperkirakan.
Rumus mean : 

Contoh :
Nilai ulangan matematika Anto pada semster 1 adalah 6, 8, 5, 7, 9, dan 7. Maka meannya adalah :

Misalkan sekumpulan data terdiri atas nilai X₁, X₂, X₃ … X_n dan memiliki frekuensi f₁, f₂, f₃, … f_n maka mean dapat dicari dengan rumus :

Contoh :
Tentukan mean dari data berikut !
6, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 8, 9, 9, 6, 7, 4, 5, 8, 7, 4, 8, 5
Jawab :
Data diatas akan lebih mudah dikerjakan bila disajikan dalam tabel frekuensi.
Tabel frekuensi :

b. Median

Median adalah nilai tengah dari sekupulan data yang telah diurutkan dari terkecil ke terbesar. Median dipengaruhi oleh jumlah data, jika jumlah dta ganjil maka mediannya adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan, dan jika jumlah data genap maka mediannya adalah mean dari dua bilangan yang ditengah setelh data diurutkan.
Contoh 1 :
Tentukan median dari data berikut!
3, 5, 4, 6, 8, 7, 3
Jawab :
Jumlah data = 7 (ganjil)
Data diurutkan akan menjadi seperti berikut:
3, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Nilai 5 ada ditengah data yang telah diurutkan, maka 5 merupakan median.
Contoh 2 :
Tentukan median dari data berikut !
9, 6, 5, 4, 3, 7, 8, 5
Jawab :
Jumlah data = 8 (genap)
Data diurutkan akan menjadi seperti berikut :
3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9
nilai 5 dan 6 ada ditengah data yang telah diurutkan, maka mediannya adalah 5 + 6 / 2 = 5,5

c. Modus

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling banyak, modus dinotasikan dengan Mo.
Contoh :
Tentukan modus dari data berikut !
4, 8, 7, 4, 6, 3, 6, 8, 6, 3
Jawab :
Data yang paling sering muncul adalah 6, maka Mo = 6

Read More … Ukuran Pemusatan Data Tunggal

BILANGAN BULAT

Ringkasan Materi

1. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, ...
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : ..., -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}

2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.

3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :

Contoh : 7 + (-10) = 7 - 10 = -3
Sifat-sifatnya :
a. Komutatif :

b. Asosiatif :

c. Tertutup :

d. Memiliki identitas :

e. Invers penjumlahan :


4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :

Contoh : 8 - (-2) = 8 + 2 = 10

5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)

Sifat-sifat :


6. Pembagian
Pembagian adalah kebalikan (invers) dari perkalian.
Rumus :


7. Perpangkatan dan Sifat


8. Akar Pangkat Dua dan Akar Pangkat Tiga

Read More … BILANGAN BULAT

NEGATIF X NEGATIF = POSITIF

MENGAPA NEGATIF DIKALIKAN NEGATIF SAMA DENGAN POSITIF ?

Penjelasan matematis

    Berikut ini adalah penjelasan matematis mengapa bilangan negatif dikalikan  dengan bilangan negatif akan menjadi bilangan positif. jika kamu membayangkan bilangan negatif sebagai bilangan positif yang dikalikan dengan -1. maka kamu bisa menulis hasil dari dua bilangan negatif seperti berikut ini.

                                            (-a)(-b) = (-1)(a)(-1)(b) = (-1)(-1)ab

karena kita sudah tahu dari kesepakatan bahwa (-1)(-1) = +1, maka (-a)(-b) = ab. Contohnya :
                            -2 x -3 = (-1)(2)(-1)(3)
                                        = (-1)(-1)(2)(3)
                                        = (-1)(-1) x 6

Read More … NEGATIF X NEGATIF = POSITIF

PK

Dalam pemecahan soal persamaan kuadrat atau dikenal dengan PK, dapat dikerjakan dengan cara pemfaktoran seperti contoh soal berikut:

Contoh Soal Pertama

x ( x + 1 ) = x ( 2x - 3)

x2 + x = 2x2 - 3x

x2 - 4x = 0 

x ( x - 4 ) = 0

x = 0 atau x = 4

Pada contoh penyelesaian diatas dijelaskan bahwa x ditunkan terlebih dahulu, sehingga membentuk x kuadrat atau x2 dan berpindah ruas. Catatan 2 sama dengan kuadrat.

Contoh Soal Kedua

( x2 + 2 ) ( x + 2 ) = ( x2 + 2 ) ( 2x - 1 )

( x + 2 ) = ( 2x - 1 )

x = 3

Pada kasus penyelesaian diatas digunakan cara eliminasi, yaitu menghilangkan faktor yang sama seperti x2 + 2 pada ruas kiri dan x2 + 2 pada ruas kanan yang dihilangkan karena bersifat positif. Sehingga hasil penurunanya adalah ( x + 2 ) = ( 2x - 1) sehingga x bernilai 3.

Read More … PK