Garis dan Sudut

Gambar 1

Perpotongan dua buah garis seperti gambar 1 menghasilkan beberapa sudut. Hubungan sudut-sudut tersebut diantaranya:

1. Dua buah sudut yang yang berimpit salah satu kakinya disebut saling berpelurus. Jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰ . Pada gambar 1 sudut-sudut yang berpeelurus adalah A₁ dengan A₂, A₁ dengan A₄, A₄ dengan A₃, serta A₂ dengan A₃.
2. Dua buah sudut yang kaki sudutnya tidak berimpit disebut saling bertolak belakang. Besar ukuran sudut keduanya adalah sama. Pada gambar 1 sudut-sudut yang bertolak belakang adalah A₁ dengan A₃, serta A₂ dengan A₄.

Perpotongan antara dua garis sejajar dengan sebuah garis seperti gambar 2 menghasilkan beberapa sudut. Hubungan sudut-sudut tersebut adalah:

1. 

   Gambar 2
   Sudut-sudut yang sehadap mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sehadap yaitu: A₁ dengan B₁, A₂ dengan B₂, A₃ dengan B₃, serta A₄ dengan B₄.
2. Sudut-sudut yang berseberangan dalam mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut berseberangan dalam yaitu: A₁ dengan B₃, serta A₄ dengan B₂.
3. Sudut-sudut yang berseberangan luar mempunyai besar sudut yang sama. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut berseberangan luar yaitu: A₂ dengan B₄, serta A₃ dengan B₁.
4. Sudut-sudut yang sepihak dalam, jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sepihak dalam yaitu: A₁ dengan B₂, serta A₄ dengan B₃.
5. Sudut-sudut yang sepihak luar, jumlah kedua sudut ini besarnya 180⁰. Pada gambar 2 terdapat beberapa sudut sepihak luar yaitu: A₂ dengan B₁, serta A₃ dengan B₄.

Gambar 3

Dari gambar 3, bagaimana kita menujukkan bahwa besar sudut a + b + c = 180⁰ ? Salah satu cara menggunakan  konsep diatas dengan langkah berikut:
(1). a = d karena berseberangan dalam
(2). b = e karena berseberangan dalam
(3). a + b + c = d + e + c = 180⁰. karena membentuk sudut lurus.

Read More … Garis dan Sudut

Ukuran Pemusatan Data Tunggal

Untuk apa kita mempelajari ukuran pemusaran data??? Ukuran pemusatan data digunakan  agar data yang diperoleh mudah untuk dibaca dan dipahami. Ukuran pemusatan data terdiri atas mean, median, dan modus.

a. Mean ( Rataan )

Mean dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyaknya data. Dengan mengetahui mean suatu data, maka variasi data yang lain akan mudah diperkirakan.
Rumus mean : 

Contoh :
Nilai ulangan matematika Anto pada semster 1 adalah 6, 8, 5, 7, 9, dan 7. Maka meannya adalah :

Misalkan sekumpulan data terdiri atas nilai X₁, X₂, X₃ … X_n dan memiliki frekuensi f₁, f₂, f₃, … f_n maka mean dapat dicari dengan rumus :

Contoh :
Tentukan mean dari data berikut !
6, 5, 6, 7, 8, 9, 5, 6, 8, 9, 9, 6, 7, 4, 5, 8, 7, 4, 8, 5
Jawab :
Data diatas akan lebih mudah dikerjakan bila disajikan dalam tabel frekuensi.
Tabel frekuensi :

b. Median

Median adalah nilai tengah dari sekupulan data yang telah diurutkan dari terkecil ke terbesar. Median dipengaruhi oleh jumlah data, jika jumlah dta ganjil maka mediannya adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan, dan jika jumlah data genap maka mediannya adalah mean dari dua bilangan yang ditengah setelh data diurutkan.
Contoh 1 :
Tentukan median dari data berikut!
3, 5, 4, 6, 8, 7, 3
Jawab :
Jumlah data = 7 (ganjil)
Data diurutkan akan menjadi seperti berikut:
3, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Nilai 5 ada ditengah data yang telah diurutkan, maka 5 merupakan median.
Contoh 2 :
Tentukan median dari data berikut !
9, 6, 5, 4, 3, 7, 8, 5
Jawab :
Jumlah data = 8 (genap)
Data diurutkan akan menjadi seperti berikut :
3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9
nilai 5 dan 6 ada ditengah data yang telah diurutkan, maka mediannya adalah 5 + 6 / 2 = 5,5

c. Modus

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling banyak, modus dinotasikan dengan Mo.
Contoh :
Tentukan modus dari data berikut !
4, 8, 7, 4, 6, 3, 6, 8, 6, 3
Jawab :
Data yang paling sering muncul adalah 6, maka Mo = 6

Read More … Ukuran Pemusatan Data Tunggal

BILANGAN BULAT

Ringkasan Materi

1. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, ...
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : ..., -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}

2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.

3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :

Contoh : 7 + (-10) = 7 - 10 = -3
Sifat-sifatnya :
a. Komutatif :

b. Asosiatif :

c. Tertutup :

d. Memiliki identitas :

e. Invers penjumlahan :


4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :

Contoh : 8 - (-2) = 8 + 2 = 10

5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)

Sifat-sifat :


6. Pembagian
Pembagian adalah kebalikan (invers) dari perkalian.
Rumus :


7. Perpangkatan dan Sifat


8. Akar Pangkat Dua dan Akar Pangkat Tiga

Read More … BILANGAN BULAT

NEGATIF X NEGATIF = POSITIF

MENGAPA NEGATIF DIKALIKAN NEGATIF SAMA DENGAN POSITIF ?

Penjelasan matematis

    Berikut ini adalah penjelasan matematis mengapa bilangan negatif dikalikan  dengan bilangan negatif akan menjadi bilangan positif. jika kamu membayangkan bilangan negatif sebagai bilangan positif yang dikalikan dengan -1. maka kamu bisa menulis hasil dari dua bilangan negatif seperti berikut ini.

                                            (-a)(-b) = (-1)(a)(-1)(b) = (-1)(-1)ab

karena kita sudah tahu dari kesepakatan bahwa (-1)(-1) = +1, maka (-a)(-b) = ab. Contohnya :
                            -2 x -3 = (-1)(2)(-1)(3)
                                        = (-1)(-1)(2)(3)
                                        = (-1)(-1) x 6

Read More … NEGATIF X NEGATIF = POSITIF

PK

Dalam pemecahan soal persamaan kuadrat atau dikenal dengan PK, dapat dikerjakan dengan cara pemfaktoran seperti contoh soal berikut:

Contoh Soal Pertama

x ( x + 1 ) = x ( 2x - 3)

x2 + x = 2x2 - 3x

x2 - 4x = 0 

x ( x - 4 ) = 0

x = 0 atau x = 4

Pada contoh penyelesaian diatas dijelaskan bahwa x ditunkan terlebih dahulu, sehingga membentuk x kuadrat atau x2 dan berpindah ruas. Catatan 2 sama dengan kuadrat.

Contoh Soal Kedua

( x2 + 2 ) ( x + 2 ) = ( x2 + 2 ) ( 2x - 1 )

( x + 2 ) = ( 2x - 1 )

x = 3

Pada kasus penyelesaian diatas digunakan cara eliminasi, yaitu menghilangkan faktor yang sama seperti x2 + 2 pada ruas kiri dan x2 + 2 pada ruas kanan yang dihilangkan karena bersifat positif. Sehingga hasil penurunanya adalah ( x + 2 ) = ( 2x - 1) sehingga x bernilai 3.

Read More … PK

teka-teki

berikut ini satu contoh teka-teki yang sangat terkenal*. Sering dipakai oleh banyak orang untuk berteka-teki. Walaupun “angka-angka” dan konteks yang dipakai dalam teka-teki berikut ini seringkali berbeda, tetapi prinsip teka-tekinya tetaplah sama**.

Tiga sekawan masuk ke hotel untuk menginap. Kata petugas, harga sewa kamarnya Rp. . Masing-masing mengumpulkan uang Rp. untuk membayarnya. Setelah ketiga orang tadi pergi menuju kamar, sang petugas sadar bahwa harga sewa kamarnya seharusnya cuma Rp. .

Kemudian sang petugas meminta Bel-boy untuk menyerahkan uang Rp. kepada ketiga orang tadi. Karena uang Rp. berbentuk pecahan Rp , si Bel-boy hanya menyerahkan uang kepada ketiga orang tadi sebesar Rp. , sedangkan yang Rp. disimpan untuknya. Uang yang Rp. tersebut dibagi-bagi ke tiga orang tadi, masing-masing Rp..

Sehingga, bila dihitung-hitung, masing-masing orang hanya membayar Rp. . Jadi, bertiga sebenarnya membayar Rp. Rp . Bila ditambahkan ke uang Rp. yang dipegang si Bel-boy, maka jumlahnya Rp. . Lantas yang Rp. lagi ke mana?

Bagaimana, apakah Anda dapat memecahkan teka-teki tersebut? Bila belum, Anda boleh membaca pemecahannya seperti uraian berikut. Bila Anda dapat memecahkannya, saya ucapkan selamat atas keberhasilannya. Namun Anda pun boleh membandingkannya dengan cara pemecahan berikut ini.

Sebenarnya uang yang Rp. tidak pergi ke mana-mana. Tidak hilang, tidak lenyap. Jumlah uang yang beredar di teka-teki tersebut tetap saja Rp . Tapi apa buktinya? Mari kita hitung perlahan-lahan.

Uang yang diterima petugas mula-mula Rp. kemudian diserahkan ke Bel-boy Rp. sehingga uang yang kini dipegang petugas Rp. .

Oleh Bel-boy, uang sebesar Rp. cuma diserahkan sebesar Rp. ke ketiga orang tadi. Sehingga si Bel-boy sekarang memegang Rp. .

Karena ketiga orang tersebut menerima kembali uang mereka sebesar Rp. dan masing-masing orang kebagian Rp. , maka ini artinya mereka masing-masing mengeluarkan uang Rp. . Karena ada tiga orang, ini artinya mereka bersama mengeluarkan Rp. Rp. . Nah, jumlah uang ini sama dengan uang yang dipegang petugas (Rp. ) ditambah uang yang sekarang dipegang Bel-boy (Rp. ), yaitu Rp. Rp. Rp. .

Nah, bila uang Rp. itu kita tambah dengan uang yang diserahkan ke ketiga orang tadi, yaitu Rp. maka jumlah uang yang beredar pada teka-teki tersebut adalah tetap, yaitu Rp. .

Walaupun teka-teki tersebut biasanya hanya untuk selingan ketika kita ngobrol dengan teman-teman, di warung kopi misalnya, tapi teka-teki semacam ini bisa bermanfaat bila diterapkan di dunia pendidikan kita. Setidaknya, bisa digunakan untuk memancing siswa agar tertarik pada pelajaran matematika atau bahasa.

Lantas, apa saja guna teka-teki tersebut bagi dunia pendidikan kita, bagi siswa-siswi kita di sekolah? Bila memang berguna bagaimana menyajikannya?

Menurut saya, teka-teki semacam ini, selain dapat digunakan sebagai selingan pada pelajaran matematika, juga dapat digunakan pada pelajaran bahasa. Kenapa? Karena dalam teka-teki ini kecermatan penggunaan kata dan kalimat sangat berperan dalam memahami dan menyelesaikan masalah pada teka-teki ini.

Dengan perkataan lain, teka-teki ini selain mengajari kelihaian bermatematika juga mengajari keterampilan “bersilat kata” dalam pelajaran bahasa. Jadi, untuk kasus teka-teki ini, terlihat jelas kaitan antara pelajaran matematika dan bahasa, yang sama-sama merupakan “sarana” untuk berfikir, bersilat “angka” dan bersilat “kata” dalam waktu yang nyaris bersamaan***.

Oh, iya. Bisa jadi teka-teki semacam ini dapat digunakan untuk menarik minat masyarakat pembaca yang katanya pusing bila berhadapan dengan “angka-angka biasa” dalam matematika, tapi tidak pusing bahkan senang bila berhadapan dengan “angka-angka” yang terkait dengan uang. Mungkin teka-teki semacam inilah yang bisa dijadikan contoh bagi macam pembaca tersebut. Semoga!

Oh, iya lagi. Untuk kali ini saya sengaja tidak menyajikan ide dan cara bagaimana teka-teki ini disajikan dengan menarik pada siswa-siswi di sekolah. Oleh karena itu, saya nantikan pendapat Anda sekalian, khususnya bapak atau ibu guru matematika atau bahasa. Sekali-kali boleh juga bukan? Saya undang Anda untuk menyumbangkan ide dan sarannya, di kolom komentar tentunya. Atas sumbangan ide dan sarannya saya ucapkan terimakasih.

Read More … teka-teki